Seminar (6594) zur Algebraischen Geometrie: Algebraische Kurven (SS 2005 - Prof. Dr. M. Rapoport, Dr. J. Stix)
Termin Donnerstag, 14-16, Seminarraum D in der Meckenheimer Allee 160.
Vorbesprechung: Am Dienstag, den 1.2.2005, um 12:15
im Hausdorffraum, Beringstrasse 3.
Interessenten, die nicht zur Vorbesprechung kommen können, mögen
bitte mit mir Kontakt
aufnehmen.
Algebraische Kurven gehören zu den ältesten Gegenständen mathematischer Untersuchungen. Sie treten bei Diophantischen Gleichungen (x^n+y^n = z^n für ganzzahlige x,y,z), bei kompakten Riemannschen Flächen (natürlicher Definitionsbereich algebraischer holomorpher Funktionen), bei abelschen Integralen (Integrand dx/\sqrt{f(x)} für ein Polynom f) und in vielen weiteren Situationen auf.
Vor allem aber sind algebraische Kurven die einfachsten nichttrivialen algebraischen Varietäten. So dient ihr Studium dazu, die Konzepte und Techniken der algebraischen Geometrie in einfacher Natur auszuprobieren.
Zunächst werden wir im Seminar die Grundlagen der Theorie algebraischer Kurven erarbeiten. Dazu gehören insbesondere das Residuum einer rationalen, algebraischen Differentialform in einem Punkt der Kurve, der Dualitätssatz von Serre (nur im Fall von Dimension 1 und mittels Repartitionen) und der Satz von Riemann-Roch. Letzterer beantwortet die Frage nach der Dimension des Raums der meromorphen Funktionen, die nur in ausgewählten Punkten Pole von gegebener beschränkter Ordnung haben, zumindest für Poldivisoren großen Grades oder allgemein bis auf den Spezialitätsindex.
Im Anschluß widmen sich die einzelnen Vorträge ausgewählten Themen der Theorie der Divisoren auf Kurven. Dabei versuchen wir auch über spezielle Divisoren, d.h. solche mit nichtverschwindendem Spezialitätsindex, genaueres aussagen zu können.
Vorkenntnisse: Das Seminar wendet sich an Studenten und Studentinnen mit elementaren Kenntnissen in algebraischer Geometrie und kommutativer Algebra.
Literatur:
[ACGH] Arbarello, E., Cornalba, M., Griffiths, P. A., Harris, J., Geometry of Algebraic Curves, Springer, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 267, 1985.
[Fu] Fulton, W., Algebraic Curves, Benjamin, New York, 1969.
[GH] Griffiths, P. A., Harris, J., Principles of algebraic geometry, Pure and Applied Mathematics, Wiley Interscience, New York, 1978.
[Go] Gordon, W. J., A linear algebra proof of Clifford's theorem, Enseign. Math. 2 30 (1984), no. 1-2, 85-94.
[Ha] Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Springer, GTM 52, 1977.
[Se1] Serre, J.-P., Groupes algébriques et corps de classes, Hermann, Paris, 1959.
[Se2] Serre, J.-P., Local Fields, Springer, GTM 67, 1979.
[Sx] Stix, J., Notizen zu Residuen, Dualit\"at und Riemann-Roch auf Kurven, Skript, Bonn 2005. (pdf).
[Ta] Tate, J., Residues of differentials on curves, Ann. scient. Ec. Norm. Sup. 1 4 (1968), 149-159.
Wir werden im ersten Teil hauptsächlich die Quellen [Se] und [Ta] verwenden.
Eine vollständige Vortragsliste (auch als ps oder pdf):
- Algebraische Kurven ([Ha] I.6, [Se1] II §1+§2).
Definition einer regulären, eigentlichen, geometrisch zusammenhängenden Kurve X/k, Funktionenkörper K(X), abgeschlossene Punkte entsprechen diskreten k-Bewertungsringen von K(X), Fortsetzungslemma: rationale Funktionen auf X mit Werten in einer projektiven Varietät sind überall regulär, nichtkonstante Elemente des Funktionenkörpers entsprechen endlichen Abbildungen nach $\PP^1_k$, Dedekind-Weber Äquivalenz von Kurven und Funktionenkörpern. Struktur der komplettierten lokalen Ringe (k perfekt). - Divisoren, Linienbündel und Differentiale ([Ha] II.6+8,
[Se1] II §3+§9).
Auf Kurven: Divisoren, Linienbündel, Linienbündel zu einem Divisor, Hauptdivisoren. Jede nichtkonstante Abbildung zwischen Kurven ist endlich, Verzeigungsindizes, Fundamentale Gleichung (der Fasern), Divisorklassengruppe, Norm und Inklusion für Divisoren entlang Abbildungen zwischen Kurven [Se2] I §4+§5, Grad eines Divisors & Linienbündels, Grad von Hauptdivisoren = 0. Derivationen, Differentiale, die Garbe $\Omega_{X/k}$, für perfekte k: die Halme von $\Omega_{X/k}$ in abg.\ Punkten x sind frei vom Rang 1 mit Basis dt für eine Uniformisierende t in x, rationale Differentiale, Geschlecht, kanonische Klasse. - Repartitionen und Kohärenzsatz ([Ha] IV.1, [Se1] II
§4+§5), [Fu] VIII.2,
[Sx]).
Definition: Repartitionen R, Repartitionen mit beschränkten Nennern R(D), I(D) = R/R(D)+K(X), l(D) und i(D). Die 5-Term-Sequenz, Kohärenzsatz: l(D) und i(D) sind endlich, siehe [Sx]. Erste Form des Satzes von Riemann-Roch: Eulercharakteristik. - Abstrakte Residuen ([Ta] §1-§3).
Endlichpotente lineare Abbildungen, Spur von solchen, Existenzsatz für abstrakte Residuen, Residuen auf Kurven, Residuen und Laurentreihen [Ta] Thm 2. - Residuensatz und Adjunktionsformel ([Ta] §1-§3, [Se1] II
§12 Lemme 4+5).
Residuensatz [Ta] §3 Thm 3 & Cor, Adjunktionsformel [Ta] §3 Thm 4. - Dualität und Riemann-Roch ([Se1] II §6+§8+§9, [Ha]
IV.1 Ex 1.1-1.3).
Stetiges dual $J = \bigcup J(D)$, Dimension von J über K(X), Residuenpaarung, Dualitätssatz, endgültiger Riemann-Roch für Linienbündel auf Kurven, Folgerungen aus Riemann-Roch: echte offene Teile von Kurven sind affin. - Riemann-Hurwitz-Formel ([Ha] IV.1+2).
Grad der kanonischen Klasse, Eindeutigkeit der kanonischen Klasse als `dualisierender Divisor' im Satz von Riemann-Roch, Kurven vom Geschlecht 0 mit rationalem Punkt sind isomorph zu $\PP^1_k$. Vergleich der Differentialgarben entlang einer verzweigten Überlagerung von Kurven, Riemann-Hurwitz-Formel, Frobenius, Lüroths Theorem, der $\PP^1_k$ ist einfach zusammenhängend. - Hyperelliptische Kurven und kanonische Einbettung ([Ha]
IV.1+4+5, [GH] p.253-258).
Elliptische Kurven (g=1 und rationaler Punkt) erfüllen eine Legendregleichung $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ [Ha] IV.4.6 mit globalem Differential dx/y und haben triviale kanonische Klasse [Ha] IV.1.3.6. Linienbündel und Abbildungen in den $\PP^n$, Definition $g^r_d$, Definition einer hyperelliptischen Kurve, in Charakteristik $\not= 2$: Gleichung $y^2=f(x)$ und globale Differentiale $x^i dx/y$, Diskussion des kanonischen Linearsystems [Ha] IV.5.1-5.3, hyperelliptische Involution. - Cliffords Theorem und das Theorem über allgemeine Lage
([Ha] Thm IV.5.4, [Go] §1+§3, [ACGH] III §1).
Cliffords Lemma, Cliffords Theorem, das Theorem über allgemeine Lage.
Termine, Themen, Sprecher:
| Datum | # | Thema | Sprecher(in) |
| 14.04.2005 | 1 | Algebraische Kurven | Michael Rieß |
| 21.04.2005 | 1 | Algebraische Kurven | Michael Rieß |
| 28.04.2005 | 2 | Divisoren, Linienbündel und Differentiale | Ulrich Terstiege |
| 12.05.2005 | 2 | Divisoren, Linienbündel und Differentiale | Ulrich Terstiege |
| 23.05.2005 | 3 | Repartitionen und Kohärenzsatz | Jakov Margulis |
| 02.06.2005 | 3 | Repartitionen und Kohärenzsatz | Jakov Margulis |
| 4 | Abstrakte Residuen 1 | Matthias Warkentin | |
| 09.06.2005 | 4 | Abstrakte Residuen 1, Abstrakte Residuen 2 | Matthias Warkentin, Franz-Benjamin Mocnik |
| 16.06.2005 | 4 | Abstrakte Residuen 2 | Franz-Benjamin Mocnik |
| 23.06.2005 | --- fällt aus --- | ||
| 30.06.2005 | 5 | Residuensatz und Adjunktionsformel | Elena Fink |
| 07.07.2005 | 6 | Dualität und Riemann-Roch | Daniel Rohleder |
| 14.07.2005 | 7 | Riemann-Hurwitz-Formel | Tamer Bulut |
| 18.07.2005 | 8 | Hyperelliptische Kurven und kanonische Einbettung | Holger Patsch |
| 21.07.2005 | 9 | Cliffords Theorem und das Theorem über allgemeine Lage | Philipp Lampe |
Extratermine:
Montag, 23.05.2005, 18:00-19:30, im Seminarraum D,
Montag, 18.07.2005, 18:00-19:30, im Seminarraum D.
Letzte Änderung: 15.03.2010, Sekretariat Prof. Dr. M. Rapoport